پاسخ فعالیت صفحه 66 ریاضی دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 65 ریاضی دهم - بخش ۱ سلام! این فعالیت یک مرور بر روش‌های اصلی **گویا کردن مخرج کسرها** است. گویا کردن به این معنی است که رادیکال را از مخرج کسر حذف کنیم. ### **الف) گویا کردن $\mathbf{\frac{5}{2\sqrt{3}}}$ (فرجه ۲)** **گام ۱: تعیین عامل گویاساز** برای حذف $\sqrt{3}$ از مخرج، کسر را در $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ ضرب می‌کنیم (زیرا $\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3$): $$\frac{5}{2\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{2 \times (\sqrt{3})^2}$$ **گام ۲: ساده‌سازی** $$\frac{5\sqrt{3}}{2 \times 3} = \mathbf{\frac{5\sqrt{3}}{6}}$$ **پاسخ جاهای خالی (الف):** $\frac{\mathbf{5\sqrt{3}}}{\mathbf{6}}$ --- ### **ب) گویا کردن $\mathbf{\frac{2}{\sqrt[3]{4}}}$ (فرجه ۳)** **گام ۱: تعیین عامل گویاساز** برای حذف $\sqrt[3]{4}$، نیاز داریم زیر رادیکال را به توان فرجه (یعنی $3$) برسانیم. $$\sqrt[3]{4} \times \sqrt[3]{4^{\mathbf{?}}} = \sqrt[3]{4^{1+?}} = \sqrt[3]{4^3} = 4$$ چون $4 = 4^1$ است، نیاز به $4^2$ داریم تا توان به $3$ برسد ($1+2=3$). $$\text{عامل گویاساز:} \quad \frac{\sqrt[3]{4^2}}{\sqrt[3]{4^2}} = \frac{\sqrt[3]{16}}{\sqrt[3]{16}}$$ **گام ۲: ضرب و ساده‌سازی** $$\frac{2}{\sqrt[3]{4}} \times \frac{\sqrt[3]{4^2}}{\sqrt[3]{4^2}} = \frac{2\sqrt[3]{16}}{\sqrt[3]{4^3}}$$ $$\frac{2\sqrt[3]{16}}{4}$$ **گام ۳: ساده‌سازی نهایی** با حذف عامل $2$ از صورت و مخرج، و ساده‌سازی رادیکال (اختیاری: $\sqrt[3]{16} = 2\sqrt[3]{2}$): $$\frac{2\sqrt[3]{16}}{4} = \mathbf{\frac{\sqrt[3]{16}}{2}}$$ **پاسخ جاهای خالی (ب):** $\frac{\mathbf{2\sqrt[3]{16}}}{\mathbf{4}}$ (یا $\frac{\mathbf{\sqrt[3]{16}}}{\mathbf{2}}$)

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 65 ریاضی دهم - بخش ۲ این بخش در مورد **گویا کردن مخرج** با استفاده از **مزدوج** است. زمانی از مزدوج استفاده می‌کنیم که مخرج، جمع یا تفاضل دو جمله (که حداقل یکی از آن‌ها رادیکالی باشد) است. **قاعده:** $\mathbf{(A - B)(A + B) = A^2 - B^2}$ (حذف رادیکال‌ها با توان دوم). ### **الف) $\mathbf{\frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}}$** * **مزدوج مخرج:** $\sqrt{5} + \sqrt{3}$ $$\frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2}$$ $$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{5 - 3} = \mathbf{\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2}}$$ ### **ب) $\mathbf{\frac{8}{3\sqrt{2} + 4}}$** * **مزدوج مخرج:** $3\sqrt{2} - 4$ $$\frac{8}{3\sqrt{2} + 4} \times \frac{3\sqrt{2} - 4}{3\sqrt{2} - 4} = \frac{8(3\sqrt{2} - 4)}{(3\sqrt{2})^2 - 4^2}$$ $$\frac{8(3\sqrt{2} - 4)}{(9 \times 2) - 16} = \frac{8(3\sqrt{2} - 4)}{18 - 16} = \frac{8(3\sqrt{2} - 4)}{2}$$ $$\mathbf{4(3\sqrt{2} - 4)} \quad \text{یا} \quad \mathbf{12\sqrt{2} - 16}$$ ### **پ) $\mathbf{\frac{x - y}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}}$** * **مزدوج مخرج:** $\sqrt{x} + \sqrt{y}$ $$\frac{x - y}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} \times \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} = \frac{(x - y)(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{(\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2}$$ $$\frac{(x - y)(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{x - y}$$ (به شرط $\mathbf{x \ne y}$) $$\mathbf{\sqrt{x} + \sqrt{y}}$$ ### **ت) $\mathbf{\frac{h}{\sqrt{x + h} - \sqrt{x}}}$** * **مزدوج مخرج:** $\sqrt{x + h} + \sqrt{x}$ $$\frac{h}{\sqrt{x + h} - \sqrt{x}} \times \frac{\sqrt{x + h} + \sqrt{x}}{\sqrt{x + h} + \sqrt{x}} = \frac{h(\sqrt{x + h} + \sqrt{x})}{(\sqrt{x + h})^2 - (\sqrt{x})^2}$$ $$\frac{h(\sqrt{x + h} + \sqrt{x})}{(x + h) - x} = \frac{h(\sqrt{x + h} + \sqrt{x})}{h}$$ (به شرط $\mathbf{h \ne 0}$) $$\mathbf{\sqrt{x + h} + \sqrt{x}}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 65 ریاضی دهم - بخش ۳ این بخش روش **گویا کردن مخرج** با استفاده از **اتحادهای مجموع و تفاضل مکعب‌ها** را معرفی می‌کند. این روش زمانی استفاده می‌شود که فرجه‌ی رادیکال $3$ یا هر **فرجه‌ی فرد** دیگری باشد. ### **بازنویسی اتحادها با رادیکال** با قرار دادن $\mathbf{x = \sqrt[3]{a}}$ و $\mathbf{y = \sqrt[3]{b}}$: 1. **اتحاد تفاضل مکعب‌ها:** $$x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$$ $$\mathbf{(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})} \left( (\sqrt[3]{a})^2 + \sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b} + (\sqrt[3]{b})^2 \right) = (\sqrt[3]{a})^3 - (\sqrt[3]{b})^3$$ $$\mathbf{(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})} \left( \mathbf{\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}} \right) = \mathbf{a - b}$$ 2. **اتحاد مجموع مکعب‌ها:** $$x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$$ $$\mathbf{(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})} \left( (\sqrt[3]{a})^2 - \sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b} + (\sqrt[3]{b})^2 \right) = (\sqrt[3]{a})^3 + (\sqrt[3]{b})^3$$ $$\mathbf{(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})} \left( \mathbf{\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}} \right) = \mathbf{a + b}$$ **پاسخ سوال:** خیر، سمت راست تساوی‌های بالا ($athbf{a-b}$ و $athbf{a+b}$) **شامل هیچ عبارت رادیکالی نیست**. به همین دلیل، عبارت‌های بزرگ داخل پرانتزهای دوم، **عامل‌های گویاساز** هستند. *** ### **توضیح نمونه گویاسازی ($\mathbf{\frac{1}{\sqrt[3]{x^2} - 1}}$)** نمونه داده شده از اتحاد **تفاضل مکعب‌ها** استفاده کرده است ($a^3 - b^3$): * **مخرج:** $A - B$ که $A = \sqrt[3]{x^2}$ و $B = 1$ است. * **عامل گویاساز:** $A^2 + AB + B^2 = (\sqrt[3]{x^2})^2 + (\sqrt[3]{x^2})(1) + 1^2 = \mathbf{\sqrt[3]{x^4} + \sqrt[3]{x^2} + 1}$ $$\text{مخرج جدید} = A^3 - B^3 = (\sqrt[3]{x^2})^3 - 1^3 = x^2 - 1$$ **توجه:** ساده‌سازی نهایی در نمونه داده‌شده ($\frac{\sqrt[3]{x^4} + \sqrt[3]{x^2} + 1}{x^2 - 1} = \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x^2} + 1$) **اشتباه** است. حاصل کسر همان کسر نهایی $\mathbf{\frac{\sqrt[3]{x^4} + \sqrt[3]{x^2} + 1}{x^2 - 1}}$ است و ساده‌تر از این نمی‌شود.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین صفحه 65 ریاضی دهم - مسئله ۴ این تمرین شامل هر دو روش گویاسازی: **مزدوج** (فرجه ۲) و **مکعب‌ها** (فرجه ۳) است. --- ### **الف) $\mathbf{\frac{2}{\sqrt{5} + 1}}$ (استفاده از مزدوج)** * **مزدوج مخرج:** $\sqrt{5} - 1$ $$\frac{2}{\sqrt{5} + 1} \times \frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{5} - 1} = \frac{2(\sqrt{5} - 1)}{(\sqrt{5})^2 - 1^2}$$ $$\frac{2(\sqrt{5} - 1)}{5 - 1} = \frac{2(\sqrt{5} - 1)}{4}$$ $$\mathbf{\frac{\sqrt{5} - 1}{2}}$$ --- ### **ب) $\mathbf{\frac{1}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}}}$ (استفاده از تفاضل مکعب‌ها)** * **مخرج:** $A - B$ که $A = \sqrt[3]{a}$ و $B = \sqrt[3]{b}$ * **عامل گویاساز:** $A^2 + AB + B^2 = \sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}$ $$\frac{1}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \times \frac{\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}} = \frac{\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}}{(\sqrt[3]{a})^3 - (\sqrt[3]{b})^3}$$ $$\mathbf{\frac{\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}}{a - b}}$$ --- ### **پ) $\mathbf{\frac{x + 8}{\sqrt[3]{x} + 2}}$ (استفاده از مجموع مکعب‌ها)** * **تجزیه صورت:** $x + 8 = (\sqrt[3]{x})^3 + 2^3$. اتحاد مجموع مکعب‌ها را به کار می‌بریم: $$x + 8 = (\sqrt[3]{x} + 2)(\sqrt[3]{x^2} - 2\sqrt[3]{x} + 4)$$ * **ساده‌سازی کسر:** $$\frac{(\sqrt[3]{x} + 2)(\sqrt[3]{x^2} - 2\sqrt[3]{x} + 4)}{\sqrt[3]{x} + 2}$$ (به شرط $\mathbf{\sqrt[3]{x} \ne -2}$, یعنی $x \ne -8$) $$\mathbf{\sqrt[3]{x^2} - 2\sqrt[3]{x} + 4}$$ --- ### **ت) $\mathbf{\frac{1}{\sqrt[3]{x^2} + 1}}$ (استفاده از مجموع مکعب‌ها)** * **مخرج:** $A + B$ که $A = \sqrt[3]{x^2}$ و $B = 1$ * **عامل گویاساز:** $A^2 - AB + B^2 = (\sqrt[3]{x^2})^2 - \sqrt[3]{x^2}(1) + 1^2 = \sqrt[3]{x^4} - \sqrt[3]{x^2} + 1$ $$\frac{1}{\sqrt[3]{x^2} + 1} \times \frac{\sqrt[3]{x^4} - \sqrt[3]{x^2} + 1}{\sqrt[3]{x^4} - \sqrt[3]{x^2} + 1} = \frac{\sqrt[3]{x^4} - \sqrt[3]{x^2} + 1}{(\sqrt[3]{x^2})^3 + 1^3}$$ $$\mathbf{\frac{\sqrt[3]{x^4} - \sqrt[3]{x^2} + 1}{x^2 + 1}}$$